你或许看过这样的画面：成百上千只萤火虫在黑夜中闪烁着光芒，它们几乎同时亮起、熄灭，仿佛排练过一般，像是在演奏一场无声的交响曲。这种现象被称为同步（synchronization）——个体之间逐渐调整自身节奏，最终达到协调一致的过程。
同步现象不仅存在于萤火虫中，它在自然界也无处不在：心肌细胞协同跳动维持心脏有序跳动，神经元协同放电以驱动我们的思维与动作。
几十年来，物理、生物、工程和数学等多个领域的科学家们一直在探索同步是如何发生的。最近，上海纽约大学数据科学助理教授凌舒扬在Foundations of Computational Mathematics（《计算数学基础》）期刊发表了一项研究，深入探讨了同步现象的形成机制及其中隐藏的结构。
同步从何而来？Kuramoto模型告诉你
人类对同步的好奇可追溯到几个世纪前，比如惠更斯观察到的钟摆同步现象。到了1970年代，日本物理学家Yoshiki Kuramoto提出了一个优美的数学模型，至今仍是研究同步现象的经典工具。这个Kuramoto模型将系统中的每个个体（如萤火虫、神经元、电网节点等）看作是一个“振荡器”（oscillator）——即周期性运动的单元。每个振荡器会根据邻居的状态调整自身节奏，随着时间推移，整个系统逐渐趋于同步。
Kuramoto模型自提出以来，引发了跨越物理、生物与工程领域的广泛研究。但更令人惊讶的是，这一模型与现代优化方法及信号处理问题也息息相关。
隐藏的联系：从自然同步到数学优化
你可能想不到，原本用于解释萤火虫、钟摆等自然现象的同步模型，竟然与数据科学中的核心问题——群同步（group synchronization）密切相关。群同步的目标是：仅通过一组含噪声的成对测量值，推断出一组未知的角度或旋转信息。这一问题广泛存在于社交网络社区识别、图聚类、三维分子重建（如冷冻电镜）等应用中。
为了解决这个问题，研究者通常将其转化为一个优化问题：定义一个“能量函数”来衡量当前推断的好坏，然后寻找使能量最小的解，即所谓的“全局最优解”。然而，这一问题通常具有非凸性（nonconvexity）——就像雾中的登山者可能会在山谷中迷路，优化算法也很容易陷入“局部最优解”，而错过真正的最佳解。更糟的是，在最坏情况下，找到全局最优解甚至是NP难（NP-hard）的。
有一种应对办法叫做半正定松弛（SDR），它将原始的非凸问题转换成凸问题，在某些条件下甚至能找出原问题的最优解。但SDR计算量极大，难以处理大规模数据。
有意思的是，凌舒扬与合作者的研究——已被Quanta Magazine（《量子杂志》）专题报道——发现了群同步问题与Kuramoto模型之间的数学桥梁：如果将群结构限制在“圆周群”（想象一下钟表上的旋转角度），并利用问题中隐藏的低秩结构，那么群同步中的优化问题正好与Kuramoto模型中最小化的能量函数一致。换句话说，理解群同步问题中复杂的优化地形，有助于我们深入理解Kuramoto模型中同步为何发生、如何发生。
“过去几年已有很多进展，”凌舒扬说，“但我们仍未完全理解这个能量地貌（景观）。我总在想：是否存在某种简单的量或原则，能统一解释同步背后的规律？”正是这样的问题持续推动着物理学、优化理论和数据科学的交叉研究。
统一的同步理论
2023年12月，凌舒扬完成了一项研究，深入揭示了同步能量地形中的数学结构。尽管这个能量函数表面上看起来极其复杂，拥有指数级数量的鞍点（saddle points），但他的研究发现：在一定条件下，这个非凸问题只存在一个局部最小值，而这个最小值正是全局最小值。
这个“条件”其实与网络的连接方式有关。研究表明，这一性质由网络的拉普拉斯矩阵（Laplacian）决定，后者描述了振荡器之间的连接结构。只要这个拉普拉斯矩阵“表现良好”——比如它的谱分布类似于全连接网络的拉普拉斯矩阵——那么即便图非常稀疏甚至有负的边，这个非凸问题的能量地貌依然会非常“良性”。
“这是一个确定性条件，它完整刻画了能量函数的地形。”凌舒扬解释说，“令人惊讶的是，仅通过最小值附近的局部几何信息，就可以推断整个全局结构。而且，这个理论适用于一大类网络，甚至包括带符号或加权的复杂网络。”这个结果不仅仅具有理论价值，还为我们提供了一个明确的判据：何时可以安全地使用高效的非凸优化算法，而无需依赖计算量昂贵却强大的凸方法。这一理论也有望应用于更广泛的科学与工程问题中，尤其是在神经动力学等领域的同步分析。“我希望这项研究不仅提供实用的计算工具，也能为我们理解复杂系统中如何自发形成秩序，提供新的数学视角。”凌舒扬补充说。